線性代數導論：特徵值方程的幾何意義

特徵值方程 $Ax = \lambda x$ 揭示了一種罕見的幾何情形，其中矩陣變換僅對向量進行縮放而非旋轉它。這些「特殊」的向量 $x$ 定義了線性變換的主要軸。

例外性的幾何結構

對於大多數向量，$Ax$ 的方向與 $x$ 不同。特徵向量之所以特殊，在於它們始終保持在同一條過原點的直線上。特徵值 $\lambda$ 告訴我們這種拉伸的大小：

奇異性約束

方程 $Ax = \lambda x$ 可改寫為 $(A - \lambda I)x = 0$。若存在非零解 $x$，則矩陣 $(A - \lambda I)$ 必須是奇異（不可逆），即其行列式必須為零：$\det(A - \lambda I) = 0$。

單位矩陣與平移

若將矩陣加上單位矩陣，特徵向量保持不變，但特徵值會增加 1：

$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$

理解投影 $P$ 的幾何特性，可透過線性算子 $R = 2P - I$ 推導出反射 $R$。

若 $x$ 是 $P$ 的特徵向量且對應特徵值 $\lambda$，則：

$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$

這解釋了為何投影（特徵值為 1 和 0）會轉化為反射（特徵值為 1 和 -1）。

🎯 核心公式

特徵值與特徵向量透過 $\det(A - \lambda I) = 0$ 求得。若 $A$ 為 2×2 奇異矩陣，其列向量為 $(a, b)$ 的倍數，其特徵向量為 $(b, -a)$。

$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$

問題 1

若矩陣 $A$ 將向量投影至一條直線，而矩陣 $B$ 將向量對該直線反射，則 $A$ 和 $B$ 分別屬於哪類矩陣？

A：投影矩陣，B：馬可夫矩陣

A：投影矩陣，B：正交矩陣

A：排列矩陣，B：可對角化矩陣

A：可逆矩陣，B：投影矩陣

問題 2

求解系統 $du/dt = Au$，其中 $A = [0, 1; 1, 0]$ 且 $u(0) = [4, 2]$。

$u(t) = 3e^t[1, 1] + e^{-t}[1, -1]$

$u(t) = 4e^t[1, 0] + 2e^{-t}[0, 1]$

$u(t) = e^{2t}[3, 1] + e^{-2t}[1, 1]$

$u(t) = 2e^t[1, 1] + 2e^{-t}[1, -1]$

問題 3

給定矩陣變動 $\Delta A$，其對應特徵值的變化量 $\Delta \lambda_1, \dots, \Delta \lambda_n$ 的公式為何？

$diag(S \Delta A S^{-1})$

$diag(S^{-1} \Delta A S)$

$diag(\Delta A S)$

$S^{-1} diag(\Delta A) S$

問題 4

若 $J = [\lambda, 1; 0, \lambda]$，則對任意整數 $k$，$J^k$ 的形式為何？

$[\lambda^k, k; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, k\lambda^{k-1}; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, 1; 0, \lambda^k]$

$[k\lambda, 1; 0, k\lambda]$

問題 5

求 $A = [1, 4; 2, 3]$ 與 $A + I = [2, 4; 2, 4]$ 的特徵值。哪個陳述是正確的？

$A+I$ 的特徵向量與 $A$ 不同。

$A+I$ 的特徵值相較於 $A$ 平移了 1。

$A+I$ 的行列式與 $A$ 相同。

$A+I$ 非奇異，因為 $A$ 是奇異的。